A Intuição dos Limites Laterais
Enquanto a álgebra pergunta "Qual é o valor em $x=a$?", o cálculo pergunta "Qual valor a função se aproxima quando $x$ se aproxima arbitrariamente de $a$?" Isso nos permite navegar por "buracos" ou saltos em funções onde um valor pode não existir.
Escrevemos $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ se pudermos tornar os valores de $f(x)$ arbitrariamente próximos de $L$, tomando $x$ suficientemente próximo de $a$ e $x$ menor que $a$. Este é o "aproaching da esquerda" observado em Figura 9.
Para que um limite bilateral exista, as perspectivas esquerda e direita devem concordar perfeitamente:
$$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = L = \lim_{x \to a^+} f(x)$$
Se esses não coincidirem, como no caso da função de Heaviside (Figura 8), dizemos que o limite Não Existe (DNE).
Limites Infinitos e Assíntotas
Às vezes, uma função não se aproxima de um número finito; ela explode. Definição 4 afirma que, se $f(x)$ aumenta sem limite quando $x \to a$, dizemos que $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$. Isso identifica uma Assíntota Vertical (Definição 6).
Exemplos Práticos
- Exemplo 8: $\lim_{x \to 0} 1/x^2 = \infty$. Ambos os lados do gráfico em Figura 11 sobem juntos.
- Exemplo 10: A função $y = \tan x$ tem assíntotas verticais em $x = \pi/2 + n\pi$ porque os valores se aproximam de $\pm\infty$ (veja Figura 16).
- Comportamento Logarítmico: Na Figura 17, observamos que $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$, criando uma assíntota vertical no eixo y.